Historias, actividades con cuadrados magicos
Una breve historia de los cuadrados mágicos
Los cuadrados mágicos tienen una rica historia que data de alrededor del 2200 a. C. Un mito chino afirma que mientras el emperador chino Yu caminaba por el río Amarillo, notó una tortuga con un diagrama único en su caparazón (ver la imagen a la derecha). El Emperador decidió llamar al patrón numérico inusual lo shu . El primer cuadrado mágico registrado, sin embargo, apareció en el libro del primer siglo Da-Dai Liji .
Los cuadrados mágicos en China se han utilizado en diversas áreas de estudio, incluida la astrología; Adivinación; y la interpretación de la filosofía, los fenómenos naturales y el comportamiento humano. Los cuadrados mágicos también impregnaron otras áreas de la cultura china. Por ejemplo, los platos de porcelana china expuestos en museos y colecciones privadas estaban decorados con inscripciones en árabe y cuadrados mágicos.
Lo más probable es que los cuadrados mágicos viajaran de China a la India y luego a los países árabes. Desde los países árabes, los cuadrados mágicos viajaron a Europa y luego a Japón. Los cuadrados mágicos en India sirvieron para múltiples propósitos además de la difusión del conocimiento matemático. Por ejemplo, Varahamihira usó un cuadrado mágico de cuarto orden para especificar recetas para hacer perfumes en su libro sobre la visión del futuro, Brhatsamhita (ca. 550 d. C.). El cuadrado mágico de tercer orden más antiguo de la India apareció en el trabajo médico Siddhayoga de Vrnda (ca. 900 d. C.), como un medio para facilitar el parto.
La construcción de cuadrados magicos es una diversión de gran antigüedad. |
| -Mayor PA MacMahon |
Poco se sabe sobre el comienzo de la investigación sobre los cuadrados mágicos en las matemáticas islámicas. Los tratados de los siglos IX y X revelaron que las propiedades matemáticas de los cuadrados mágicos ya estaban desarrolladas entre las que entonces eran naciones de habla árabe islámica. Además, la historia sugiere que la introducción de los cuadrados mágicos fue completamente matemática y no mágica. La antigua designación árabe de los cuadrados mágicos, wafq ala'dad, significa "disposición armoniosa de los números". Más tarde, durante los siglos XI y XII, los matemáticos islámicos dieron un gran salto al proponer una serie de reglas sencillas para crear cuadrados mágicos. El siglo XIII fue testigo de un resurgimiento de los cuadrados mágicos, que se asociaron con la magia y la adivinación. Esta idea se ilustra en la siguiente cita de Camman, quien habla de la importancia espiritual de los cuadrados mágicos:
Si los cuadrados mágicos eran, en general, pequeños modelos del Universo, ahora podrían verse como representaciones simbólicas de la Vida en un proceso de flujo constante, en constante renovación a través del contacto con una fuente divina en el centro del cosmos. (Prussin 1986, p. 75)
En África occidental también fue evidente un interés considerable por los cuadrados mágicos. Los cuadrados mágicos se entrelazaron en toda la cultura de África occidental. Los cuadrados tenían una importancia espiritual particular y estaban inscritos en ropa, máscaras y artefactos religiosos. Incluso fueron influyentes en el diseño y construcción de viviendas. A principios del siglo XVIII, Muhammad ibn Muhammad, un conocido astrónomo, matemático, místico y astrólogo en el África occidental musulmana, se interesó por los cuadrados mágicos. En uno de sus manuscritos, dio ejemplos y explicó cómo construir cuadrados mágicos de orden impar.
Durante el siglo XV, el escritor bizantino Manuel Moschopoulos introdujo los cuadrados mágicos en Europa, donde, como en otras culturas, los cuadrados mágicos estaban vinculados con la adivinación, la alquimia y la astrología. La primera evidencia de la aparición impresa de un cuadrado mágico en Europa se reveló en un famoso grabado del artista alemán Albrecht Durer. En 1514, Durero incorporó un cuadrado mágico en su grabado en cobre Melencolia I en la esquina superior derecha.
Chen Dawei de China inició el estudio de los cuadrados mágicos en Japón con la importación de su libro Suan fa tong zog , publicado en 1592. Debido a que los cuadrados mágicos eran un tema popular, fueron estudiados por la mayoría de los famosos wasan , quienes fueron Expertos en matemáticas japonesas. En la historia japonesa, el registro más antiguo de cuadrados mágicos fue evidente en el libro Kuchi-zusam , que describía un cuadrado de 3 por 3.
Durante el siglo XVII, se consideró seriamente el estudio de los cuadrados mágicos. En 1687-88, un aristócrata francés, Antoine de la Loubere, estudió la teoría matemática de la construcción de cuadrados mágicos. En 1686, Adamas Kochansky extendió los cuadrados mágicos a tres dimensiones. Durante la última parte del siglo XIX, los matemáticos aplicaron los cuadrados a problemas de probabilidad y análisis. Hoy en día, los cuadrados mágicos se estudian en relación con el análisis factorial, las matemáticas combinatorias, las matrices, la aritmética modular y la geometría. La magia, sin embargo, aún permanece en los cuadrados mágicos.
Método de Pheru para construir cuadrados mágicos
El primer uso matemático conocido de los cuadrados mágicos en la India fue realizado por Thakkura Pheru en su obra Ganitasara (ca. 1315 d. C.). Pheru proporcionó un método para construir cuadrados mágicos impares, es decir, cuadrados en los que n es un número entero impar. Comience colocando el número 1 en la celda inferior de la columna central (vea la figura a continuación). Para obtener la siguiente celda por encima de ella, sume n + 1, obteniendo n + 2. Para obtener la siguiente celda por encima de n + 2, sume n + 1 nuevamente, obteniendo 2 n + 3. Continuando sumando de esta manera para obtener la celda valores en la columna central da como resultado una progresión aritmética con una diferencia común de n + 1. Continúe sumando n+ 1 hasta llegar a la celda superior de la columna central, que tiene un valor de n 2 .
Los primeros pasos en el método de Pheru para construir cuadrados mágicos de orden impar
Las celdas restantes del cuadrado se obtienen a partir de los números de la columna central. La siguiente figura ilustra el método de Pheru. Considere hacer un cuadrado mágico de 9 por 9, por lo tanto, n = 9. Elija cualquier número en la columna central, por ejemplo, 1. Agregue na 1, en este ejemplo obteniendo 9 + 1 = 10. El siguiente movimiento lo haría un caballo de ajedrez, comenzando en 1 y moviéndose una celda hacia la izquierda, luego dos celdas hacia arriba. En esta celda, coloque el 10. Desde esta celda, repita el mismo proceso. Sume 10 + 9 para obtener 19, complete el movimiento del caballo y coloque 19 en la celda resultante. Continúe este proceso hasta llegar a la celda con un valor de 37. Sumar 9 y completar el movimiento del caballo coloca 46 fuera del cuadrado original de 9 por 9. Para remediar esta situación, imagina que tienes cuadrados de 9 por 9 en cada lado y esquina del cuadrado original de 9 por 9. Observe que la celda donde se encuentra 46 está en el cuadrado exterior sobre el cuadrado original y en la esquina izquierda. Simplemente mueva 46 a la celda correspondiente en el cuadrado original de 9 por 9.
Un cuadrado mágico de orden impar completado con una constante de 369 usando el método de Pheru
Al llegar a un número que exceda 81, simplemente reste 81 del número. Por ejemplo, ubique 77 en la figura 4. Sumar 9 y completar el movimiento del caballo llega a una suma de 86, que es mayor que 81 y, por lo tanto, fuera del cuadrado original. La diferencia entre 86 y 81 es 5. Luego coloca 5 en la celda correspondiente del cuadrado original. Continuando con estas instrucciones, que fueron dadas por Pheru, se produce un cuadrado mágico de 9 por 9 con una constante mágica de 369. En resumen, para obtener el resto de las celdas después de encontrar la columna central, mueva una celda a la izquierda y dos celdas hacia arriba mientras aumenta el número en n . Cuando este movimiento hace que un número caiga fuera del cuadrado, mueva el número a su celda correspondiente dentro del cuadrado. Cuando el número excede n 2, resta n 2 del número.
Actividades y aplicaciones
La Actividad Descubriendo la magia de los cuadrados mágicos permite a los estudiantes explorar la magia de los cuadrados mágicos incrustados en un contexto histórico. La breve historia que se describe aquí brinda a los maestros un punto de partida para las actividades.
El trasfondo de la actividad 2 es que Laghunandana, en su trabajo sobre la ley hindú, Smrtitattva (ca. 1500 dC), explicó un método para construir cuadrados mágicos de cuarto orden, que fueron prescritos para propósitos específicos. Por ejemplo, se prescribió un cuadrado mágico de orden cuatro con una constante mágica de 84 para calmar el llanto de un niño. El padre podría encontrar un alivio al construir este cuadrado mágico en particular siguiendo las instrucciones de Laghunandana.
Para la actividad 3, se deberá mostrar a los estudiantes el método de Pheru para construir un cuadrado mágico impar.
Para la actividad 4, la hoja del estudiante contiene una versión abreviada de la siguiente explicación. Los maestros pueden querer trabajar con el ejemplo, explicando el contexto histórico a los estudiantes antes de que continúen con el resto de la actividad. Se dice que un cuadrado mágico es normal si los n 2 números son los primeros n 2 enteros positivos. Antoine de la Loubere, quien fue el enviado de Luis XIV a Siam desde 1687 hasta 1688, creó un método simple para encontrar un cuadrado mágico normal de cualquier orden impar. A los estudiantes se les muestra el siguiente método para un cuadrado mágico de quinto orden:
Dibuja un cuadrado y divídelo en veinticinco celdas (ver la segunda figura en la hoja de actividades). Bordee el cuadrado con celdas a lo largo de los bordes superior y derecho, y sombree la celda agregada en la esquina superior derecha. Considere esta celda sombreada como ocupada. Comience escribiendo 1 en la celda superior del medio del cuadrado original. La regla general es proceder en diagonal hacia arriba y hacia la derecha con enteros sucesivos. Esta regla tiene dos excepciones. Primero, si caes en una celda que está fuera del cuadrado original, entonces puedes volver al cuadrado original desplazándote completamente a través del cuadrado, ya sea de arriba hacia abajo o de derecha a izquierda, y siguiendo con la regla general. En segundo lugar, si aterriza en una celda que ya está ocupada, debe escribir el número en la celda inmediatamente debajo de la última que llenó, luego continúe con la regla general.
Cuando hayan resuelto el ejemplo de un cuadrado mágico de quinto orden, pida a los alumnos que comparen el método de Loubere con el de Pheru en la actividad 3.
Actividad 1 : Descubriendo la magia en Cuadrados Mágicos
Usando el cuadrado mágico que se muestra a continuación, responda las preguntas que siguen
¿De qué orden es el cuadrado mágico? Explica tu respuesta
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¿Qué es la constante mágica? Explica tu respuesta
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Actividad 2: Laghunandana
En la India, alrededor del año 1500 d. C., se construyeron cuadrados mágicos de 4 por 4 para propósitos particulares.
Por ejemplo, para calmar a un niño que llora, un cuadrado mágico de cuarto orden con una constante mágica de 84 fue prescrito.
a. Si estuviera viajando por la India alrededor del año 1500 d. C., querría construir un cuadrado mágico de cuarto orden con una constante mágica de 34 para protegerte en tus viajes. Hacer entonces usando los números 1-16
b. Si fueras un guerrero en la India alrededor del año 1500 d.C., tendrías que construir un cuadrado mágico de cuarto orden con una constante mágica de 64 para protección. Construye este cuadrado usando 7 como el número más pequeño y 25 como el número más grande.
Usa el método de Pheru para construir cuadrados mágicos en los que n es igual a 5. (Se deberá usar el método de Pheru para construir un cuadrado mágico impar. Sugerencia es sombrear las casillas que se van a usar
Pistas: n=1. Casilla central poner 1.
n+2= 7. Arriba de la casilla central... y así como la de Pheru. Al final esta el desenlace... por si te perdiste.
Actividad 3
cuadrado usando números consecutivos que comienzan con 1. Un cuadrado n por n contendría los números 1, 2, 3, ..., n.
Para construir un cuadrado de quinto orden, primero dibuja un cuadrado y divídelo
en veinticinco celdas (ver la figura a continuación). Agregue un borde de celdas a lo largo de la parte superior y derecha bordes Sombrea la celda añadida en la esquina superior derecha y piensa en ella como ocupada.
- Escribe 1 en el celda central superior del cuadrado original. Como regla general, complete las celdas en diagonal hacia arriba y a la derecha con números que aumentan en 1.
- Esta regla tiene dos excepciones.
- Primero, si aterrizas en una celda que está fuera del cuadrado original, entonces puede volver al cuadrado original desplazándose completamente por el cuadrado, ya sea de arriba hacia abajo o de derecha a izquierda, y continuando con la regla general.
- Segundo, si aterrizas en una celda que ya está ocupada, entonces debe escribir el número en la celda inmediatamente debajo del último llenado, luego continuar con la regla general.
Actividad 4
Usando el método de de la Loubere, construya un cuadrado mágico normal de tercer orden.
Solucionario de actividades
1a. El cuadrado mágico es de quinto orden porque sus dimensiones son de 5 por 5.
1b. La constante mágica es 65 porque cada fila, columna y diagonal suma 65.
2a. Se utilizó un cuadrado mágico de cuarto orden con una constante mágica de 34 para proteger a los viajeros.
Solución para la Pregunta 2a de las Actividades.
2b. Se utilizó un cuadrado mágico de cuarto orden con una constante mágica de 64 para proteger a los guerreros.
Solución para la Pregunta 2b de las Actividades.
3. La siguiente es una solución para n = 5.
Solución para la Pregunta 3 de las Actividades
4. El siguiente es un cuadrado mágico de tercer orden usando el método de de la Loubere.
Solución para la Pregunta 4 de la Hoja de Actividades
Extensiones
- Una actividad de extensión sería encontrar primero la fórmula para la constante mágica de un cuadrado mágico normal de orden n , que es [ n ( n 2 + 1)] / 2 , y luego encontrar la fórmula para el número medio de un Cuadrado mágico normal de orden n, que es
(n 2 + 1)/2. - Los cuadrados mágicos están profundamente arraigados en la cultura africana. Los cuadrados mágicos se vieron en las obras de arte, la vestimenta y los espacios habitables de los africanos. También fueron utilizados con fines de adivinación. Los estudiantes pueden investigar más a fondo este tema usando Internet o comenzando con las siguientes fuentes, luego escriban un informe breve y presenten sus hallazgos a la clase.
- Gerdes, Paulus. Geometría de África: exploraciones matemáticas y educativas. Washington, DC: Asociación Matemática de América, 1999.
- Prussin, Labelle. Hatumere: Diseño Islámico en África Occidental. Berkeley, California: University of California Press, 1986.
- Zaslavski, Claudia. África cuenta: número y patrón en la cultura africana. Brooklyn, Nueva York: Lawrence Hill Books, 1979
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